（信州大学 （改題））

通勤電車の中で、iPhoneの関数電卓を使って答えのグラフを表示したら、面白いなぁとつい笑ってしまいましてね。


範囲つき二次曲線の問題。
f(x), g(x)ともに絶対値がつくか二乗なのかのどちらかなので、y軸に対して線対称の形をしていることはすぐに分かる。
y²+x² = 5 は、原点を中心として半径√5の円。
y = √x は放物線x=y² の上半分で、絶対値がついているのでy軸で折り返せばよい。
問題の関数は、これらふたつの和なので、原点を中心とした半径√5の円を上下に引き延ばしたものだろう。

実際にグラフを描くには、問題文のf(x), g(x)を微分して増減表をつくる。
しかも、範囲が -√5 ≦ x ≦ √5 で両関数がy軸に対象なので、実際のところは0 ≦ x ≦ √5 だけを考えて、y軸で折り返せばよい。

この微分計算がちょっと面倒だが、要するにf’(x)とg’(x)の正負だけが分かればいいので、最後まで計算し切る必要はないだろう。

f’(x)=0のとき、x=1 極値は、
x=0のとき、f(0)=√5
　（この間、単調増加)
x=1のとき、f(1)=3
　（この間、単調減少）
x=√5のとき、f(√5)=5^1/4

0 ≦ x ≦ √5の間に、g’(x)=0となるxは存在しない。
極値は、
x=0のとき、g(0)=-√5
　（この間、単調減少）
x=√5のとき、g(√5)=5^1/4


これをグラフに描くと、下のようになる。