3n+2(nは自然数)の形をした数は、決して平方数にならないことを証明せよ。

x≡0 (mod 3)なら、x2≡0
x≡1 (mod 3)なら、x2≡1
x≡2 (mod 3)なら、x2≡4≡1
よって、任意の数の2乗は、決して3で割って2余ることは無い。
(Q.E.D.)


(合同式を使わないバージョン)
x=3nとすると、x2=9n2  これは3で割り切れる。
x=3n+1とすると、x2=9n2+6n+1  これは3で割ると1余る。
x=3n+2とすると、x2=9n2+12n+4  これは3で割ると1余る。
つまり、任意の数の二乗を3で割ると、余りは常に0か1であり、2余ることはあり得ない。
よって、平方数が3n+2の形をとることは無い。
(Q.E.D.)



(体育会系バージョン)
1の2乗は1、これは3で割って1余る。
2の2乗は4、これは3で割って1余る。
3の2乗は9、これは3で割り切れる。
4の2乗は16、これは3で割って1余る。
5の2乗は25、これは3で割って1余る。
6の2乗は36、これは3で割り切れる。
7の2乗は49、これは3で割って1余る。
8の2乗は64、これは3で割って1余る。
9の2乗は81、これは3で割り切れる。
10の2乗は100、これは3で割って1余る。
11の2乗は121、これは3で割って1余る。
12の2乗は144、これは3で割り切れる。
13の2乗は169、これは3で割って1余る。
14の2乗は196、これは3で割って1余る。
15の2乗は225、これは3で割り切れる。
16の2乗は256、これは3で割って1余る。
17の2乗は289、これは3で割って1余る。
18の2乗は324、これは3で割り切れる。
19の2乗は361、これは3で割って1余る。
20の2乗は400、これは3で割って1余る。

このくらいで勘弁してやると、どうも任意の数の2乗は、3で割ると余りが0か1らしい。
よって証明できたような気がする。
(Q.E.D.的な何か)



ふて寝する。